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004. 분수, 분모와 분자 중 분모가 기준
분수 덧뺄셈, 기준(분모)을 같게 해주는 통분 필수
경기도민뉴스 기사입력  2018/10/08 [09:00]
[김쌤s’ 수학클리닉] 분수① = 분수의 계산에 있어 곱하기와 나누기는 오히려 쉬운 편이지만, 더하기와 빼기는 통분이라는 과정을 거쳐야 해서, 학력이 낮은 학생들은 계산에 어려움을 겪는 편이다.
 
 
1) 분모가 커질수록 분수는 작아진다
분수는 분자와 분모로 구성돼 있는데, 분수에서 중요한 역할(즉 기준)을 하는 것은 분모다.

피자 한 판이 있다고 하자. 이 피자를 학생 A가 혼자 먹었다면 학생 A는 피자 하나(1/1)를 먹었다고 말할 수 있다. 그런데 친구와 둘이 똑같이 나눠 먹었다면, 학생 A가 먹은 피자는 절반(1/2)으로 줄어들 것이다.
 
▲ [그림1] 피자가 하나이고, 먹을 학생이 한명이라면 혼자서 피자 하나를 모두 먹을 수 있다. 학생이 2명이 되면, 학생 1명이 먹을 수 있는 피자의 양은 절반으로 줄어든다. 4명이 되면 1/4이 된다. 그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스

논의를 발전시켜 학생 A와 친구 3명, 즉 4명이 피자를 나눠먹었다면, 학생 A의 피자는 1/4가 된다. 학생 A를 포함한 8명이 나눴다면, 1/8이 된다.

만약 학생이 두명으로 늘어날 때 피자도 2개가 됐다면, 학생들이 먹을 수 있는 피자는 1개씩으로 동일할 것이다. 이상에서 피자의 개수는 분자가 되고, 학생의 수는 분모가 된다는 것을 알수 있고 분수에서는 분모가 기준역할을 한다는 것도 알수 있다.
 
 
2) 통분은 기준을 같게 만드는 것
분수의 덧셈과 뺄셈에서는 곱셈이나 나눗셈과 달리 통분과정을 거쳐야 한다. 분수에서 통분은 기준인 분모를 같게 하는 것이다. 그렇다고 해서 수의 크기가 달라져서는 곤란하다.

예를 들어 분수 2/3와 13/15을 더한다고 생각해보자.
분모의 크기가 같지 않으므로, 덧셈을 어떻게 해야하는 지, 심지어 어떤 수가 더 큰 것인지 쉽게 가늠하기 어렵다. 이때 기준인 분모를 같은 크기로 하기 위해 통분을 한다.

일반적으로 학교에서는 두 분수 2/3와 13/15의 분모인 3과 15의 최소공배수를 구해서 각각 곱하라고들 한다. 3과 15의 최소공배수는 15이므로, 분수 2/3에만 5를 곱한다. 이러다보니, 기계적으로 분수의 덧셈이나 뺄셈을 계산은 하지만, 통분의 정확한 의미를 이해하지 못하는 학생들이 생기곤 한다.

분수 2/3에는 숫자 1을 곱해준다. 이 때 곱해주는 1은 15/15(더하는 상대방 숫자의 분모를 기준으로 1을 만든 것이다)라는 형태의 1을 곱해준다.

마찬가지로 분수 13/15에도 1을 곱해주는데, 그 형태는 3/3(더하는 상대방 숫자의 분모를 기준으로 1을 만든 것이다)이라는 1을 곱한다.
 
▲ [그림2] 분수식에서 덧셈을 위한 통분 과정. 그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스

그림에서 확인할 수 있듯이 양쪽에 모두 1을 곱했으므로 형태는 변했지만 숫자 자체의 크기는 변하지 않았다. 이렇게 기준인 분모를 같은 것으로 바꾸면, 이제는 분자만 더하면 된다.

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2018/10/08 [09:00]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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