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007. 유리수와 무리수와 차이는?
간단한 정수의 비율로 나타낼 수 없으면 무리수
경기도민뉴스 기사입력  2018/10/28 [19:55]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 분수와 비례는 밀접한 관계가 있다고 앞서 밝혔다. 수학에서는 정수로 표현할 수 있느냐의 여부가 중요한데, 더 이상 나누어지지 않는 수로 분모와 분자가 구성돼 있다면, 이를 ‘서로 소’라고도 한다.

유리수와 무리수의 차이점은 분수로 나타낼 수 있느냐, 없느냐로 구분한다. 원래 유리수(有理數)는 영어의 ‘rational number’를, 무리수(無理數)는 ‘irrational number’를 번역한 것이다.
 

1) 분수로 표현 가능하면 유리수
용어 중 ‘ratio’는 비율(比率)이라는 의미를 담고 있어서, 유리수의 정확한 명칭은 비율(분수)로 표시할 수 있다는 의미에서 ‘유비수(有比數)’라고 해야 한다. 마찬가지로 무리수는 ‘무비수(無比數)’, 즉 분수로 표시할 수 없는 수라고 하는 것이 정확한 표현이다.

그런데도 유리수, 무리수라고 그냥 쓰는 것은 처음 일본으로부터 수학을 들여올 때 일본식용어를 그대로 답습하면서 굳어진 탓이다.

분수로 표시할 수 없다는 것은 ‘간단한 정수의 비로 나타낼 수 없다’는 것을 의미하는데, 이것은 수학(정수론)적으로 매우 중요한 개념이다.
 

▲ 원의 지름이 1일 때, 원둘레(원주)와의 길이의 비는 3.141592…(π)가 된다. 그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스


무리수의 대표적인 것이 원주율(3.141592…, 정확하게는 초월수)이다. 분수로 표시할 수 없으므로, 원주비가 아니고 원주율이라고 한다. 간단하게 기호로는 그리스 문자 ‘π’ 파이를 사용한다.
 
 
2) 분모를 유리화하는 이유
지도현장에서 무리수, 특히 루트를 분모로 하는 분수를 예를 들면서 분모가 무리수인 분모가 있다는 질문도 받는다. 이를 설명하자면, 소수(素数, Prime number)의 개념을 또 알아야한다.

간단한 정수비로 표현할 수 있다는 의미는 정확하게는 분자와 분모가 ‘서로 소’라는 것을 의미한다. 이는 더 이상 나눌 수 없다는 의미인데, 예를 들면 3/6은 분자와 분모이 최소공배수인 3으로 각각 한 번 더 나눌 수(약분) 있으므로 최종적으로는 1/2로 표현할 수 있다.

그런데 분수에서는 분모가 기준이라고 설명했다.

무리수도 수직선 위에 실존하는 실수(實數, real number)이기는 하지만 무리수는 명확한 위치를 수직선 위에서 찾기가 쉽지 않다.

수학은 명확을 추구하는 학문인데, 기준(분모)이 되는 루트2와 정수 2와는 큰 차이가 있다. 이는 특히 중고등학생들이 분모의 유리화라는 항목이 실제 시험으로도 출제된다는 것에서 알 수 있다.
 
 
3) 루트2가 유리수가 아니라는 것에 대한 증명
루트2가 유리수가 아니라는 증명은 ‘귀류법’이라는 증명방법을 사용한다.
그것은 먼저, 루트2가 앞서 말한 ‘서로 소’인 2개의 정수를 이용한 분수로 나타낼 수 있다는 것(즉, 유리수)을 가정하고, 증명 과정을 전개한다.
 

▲ 간단한 무리수의 증명방법. 그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스


그렇게 해서 나온 결론이 가정(루트2가 유리수다)과 다르다는 것을 보이면, 자연스럽게 유리수라는 가정이 틀렸다는 결론이 나오게 된다. 따라서 루트2는 무리수일 수밖에 없다는 것을 증명하는 방법이다.

증명과정을 꼼꼼히 읽은 독자는 루트4=2=4/2가 모두 같은 지점을 가리키는 중복된 점이라는 알 수 있을 것이다. 반면, 진정한 무리수는 수직선 위에 존재는 하지만, 절대로 유리수와는 중복되지 않는 위치에 존재한다는 것도 깨달을 수 있으리라.
 

▲ 유리수는 같은 지점에 다른 표현의 숫자가 있을 수 있지만, 무리수는 그렇지 않다.     © 경기도민뉴스



<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2018/10/28 [19:55]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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