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009. 에라토스테네스, 세계 최초 지구크기 계산
세심한 관찰, 원과 비례관계 등 활용해 지구의 크기 측정
경기도민뉴스 기사입력  2018/11/12 [08:52]
[김쌤s’ 수학클리닉] 비례② = 비례식, 분수식, 함수식은 모두 밀접한 관계가 있다고 앞서 밝혔다. 여기서는 비범한 관찰력으로 문헌상 지구의 크기를 최초로 측정(추산)한 에라토스테네스의 방법론을 살펴본다.
 
 
◇ 원호의 크기는 중심각과 비례
고대 그리스의 학자 에라토스테네스(BC 276?~BC 194?)는 비례관계를 이용해 지구의 크기를 알아냈다. 알렉산드리아 도서관장이었던 에라토스테네스는 하짓날 정오 고향인 시에네의 우물은 햇빛이 수직으로 비치지만, 이집트 알렉산드리아에서는 7도 정도 기울어진 것을 발견했다.

왜 그럴까를 고민하던 에라토스테네스는 △지구는 완전한 구형이고 △태양은 워낙 멀리 있으므로 △지구에 도달하는 햇빛은 모두 평행을 이루고 있기 때문에 이런 현상이 가능하다는 가설을 세웠다.
 
▲ 하짓날 정오, 시에네와 알렉산드리아를 비추는 햇빛이 만드는 그림자의 각도 차이를 발견한 에라토스테네스. 그래픽=김영수.  © 경기도민뉴스

에라토스테네스의 지구크기 측정(추산)은 원호의 크기는 중심각의 크기와 비례한다는 수학의 정리를 바탕으로 한 것이다.

원의 중심각이 360도이므로, 반원의 중심각은 180도가 된다. 이때 반원의 둘레의 길이, 즉 원호의 크기는 반지름과 비례관계다.
 
 
◇ 원의 성질(중심각 등)통해 지구크기 계산
가설을 바탕으로 한 것이기는 하지만, 알렉산드리아와 시에네까지의 거리는 여행자들의 경험담 등을 통해 에라토스테네스도 알고 있었다.

에라토스테네스는 지구를 큰 원으로 가정하고, 햇빛이 비치는 각도와 알렉산드리아~시에네의 거리를 비례식으로 풀어냈다.
 
에라토스테네스가 지구 둘레를 구한 방법은
①알렉산드리아와 시에네의 거리(d)
②이에 대응하는 지구의 중심각(r)
③지구의 둘레(X)
④지구는 원형이므로 지구의 둘레에 대응하는 각의 크기는 360
라는 것을 바탕으로 비례식으로 풀어냈다.
 
▲ 엇각, 원과 둘레와의 관계 등 간단한 수학적 정리와 세심한 관찰력으로 지구의 둘레의 크기를 최초로 추산(推算)한 에라토스테네스. 그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스

①, ②, ④는 모두 알고 있는 것이므로
알렉산드리아와 시에네의 거리(d) : 대응하는 지구의 중심각(R)=지구의 둘레(X):360
을 계산하면 지구의 둘레를 알 수 있다.
 
d : 7도 = X : 360도
7도X = 360도d 이므로,
X(지구의 둘레) = 360도d / 7도

알렉산드리아와 시에네의 거리 d는 알고 있는 값이므로 각도는 각도끼리 약분하고 남은 값에 거리 d를 곱하면 지구의 둘레가 나온다.

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2018/11/12 [08:52]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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