[김쌤s’ 수학클리닉] = 의외로 많은 학생들이 함수, 정의역, 치역, 공역 등에 대해 많이 어려워하는 것 같다. 사실 수학적 정의에 따라 설명한 함수, 정의역, 치역, 공역은 거의 암호문 수준이다.다음은 이해를 돕기 위한 것이다. 설명을 위한 것이므로 남녀차별적 발언이니 등등의 딴죽은 걸지 마시길. 
  
함수는 남녀가 만나는 미팅 현장이다.
정의역은 미팅에 참가하는 남자다.
공역은 미팅에 참가한 여자다.
치역은 미팅에서 남자들에게 ‘찜’을 당한 여자다.
 
이 미팅에는 단 하나의 규칙이 있다. 그것은 미팅에 참가한 모든 남자는 무조건 1명의 여자만을 찜해야 한다.

이 규칙을 곰곰이 들여다보면, ①미팅에 참가한 남자는 마음에 드는 여자가 없다고 ‘찜’을 하지 않으면 규칙 위반이 된다는 것이다. ②또 남자만 ‘찜’을 할수 있으므로 여자가 먼저 남자를 찜할 수는 없다는 것도 알 수 있다.

이상에서 여자가 남자를 찜하는 것이 아니므로, ③여자는 몇 명의 남자로부터 ‘찜’을 당해도 상관없다는 결론이 나온다. ④이렇게 ‘찜’을 받은 여자들이 바로 ‘치역’이다. 물론 남자들로부터 ‘찜’을 받지 못한 여자들도 있을 것이다. ⑤‘찜’을 받지 못한 여자들은 ‘공역(=들러리)’일 뿐, ‘치역’은 절대 되지 못한다.
 
만약, 미팅에 참가한 남녀가 각각 서로의 이상형(물론 외양으로 판단하는 것이지만)을 만나, 모든 남자 1명이, 각각의 여자 1명을 선택하는 경우가 벌어질 때도 있을 것이다. 이것을 ‘일대일 대응’이라고 한다.

‘일대일 대응’을 달리 생각하면, 원래는 선택권이 없는 여자들이 남자들을 ‘찜’한 것과 같은 효과를 나타낸다고 볼 수도 있다. ‘일대일 대응’의 중요성은 여기서 나타난다. 역함수는 이 ‘일대일 대응’에서만 존재하기 때문이다.
 
이제 하나씩 예를 들어보면,

X(미팅에 참가한 구성원)를 남자라 하고, Y(미팅에 참가한 구성원)를 여자라 하자. 남자 1명이 여자 1명씩을 ‘찜’하는 경우가 생겼다. 이것이 일대일 대응이고, 이는 역으로 생각하면, 여자들이 남자를 ‘찜’한 것과 같은 효과를 나타낸다. 
 

▲ 모든 남자와 여자가 짝을 이룬 경우를 함수의 일대일 대응(=역함수 존재)이라 하고, 이 경우에만 역함수가 존재한다.     © 경기도민뉴스

어쩌다보니, 미팅에 참가한 여자 중 정말 눈에 번쩍 띄는 미모와 조건을 가진 여자가 있었다. 그래서 모든 남자들이 이 여자를 ‘찜’했다. 이 경우도 원래 정의역, 공역, 치역의 조건에 따라 함수라고 할 수 있다. 여자 입장에서는 내가 워낙 잘 나서 모든 남자들이 나만 보면 사족을 못 쓰는 통에 나도 힘들다고 하소연할지도 모른다. 미녀는 괴로워~
 

▲ 모든 남자가 한 여자만을 찜했다. 이 경우도 미팅(함수)이 성립한다. 모든 X의 구성성분과 대응하는 Y의 성분은 ‘2’하나뿐이다. 다만, 일대일 대응이 아니므로 역함수는 존재하지 않는다.     © 경기도민뉴스

다음 그림에서 보는 것처럼, 아무도 여자를 찜하지 않거나 남자 한 명이 여자 두 명 이상을 찜한 경우는 미팅이 성립하지 않는다. 모든 남자는 무조건 1명의 여자만을 찜해야하는 것이 규칙이기 때문이다.
 

▲ 왼쪽의 경우는 함수가 아니다. 모든 남자는 무조건 여자 1명을 찜해야 하는데 2번과 4번은 찜하지 않았다. 더욱이 1번과 3번은 각각 2명의 여자를 찜했다. 반면 오른쪽은 함수의 정의에 맞는다. 모든 남자는 무조건 1명의 여자를 찜해야 하는 조건에 맞기 때문이다.     © 경기도민뉴스

또, 남자 한명이 모든 여자를 찜한 것도 함수가 성립하지 않는다. 

▲ 왼쪽 그림을 그래프로 표현한 것이 오른 쪽이다. 즉, 오른 쪽의 그래프는 함수가 아니다. 이를 축(정확하게는 X축의) 방정식이라고 한다. 그 꼴은 X=K의 형태다.     © 경기도민뉴스

 

다음은 대체적으로 수학 교과서나 참고서에 나와 있는 각각의 정의들이다.   정의역(定義域 domain(of definition)) 집합 X에서 집합 Y로의 사상(寫像:함수) f에 대하여 X를 f의 정의역이라고 한다.   치역(値域 range) 함수가 취하는 값 전체의 집합을 일컫는다. 사상(함수) f:X → Y가 있을 때 집합 X를 f의 정의역(定義域), Y를 f의 공역(共域)이라 하고, X의 원소 x의 상(像) 전체의 집합 f(X)＝{f(x)|x∈X}를 f의 치역이라 한다. 이 때 f(X)는 공역 Y의 부분집합이다.   공역(共域 codomain) 집합 X의 임의의 원소 x에 대응하는 집합 Y의 원소 y를 나타내는 함수 y＝f(x)에서 집합 Y를 부르는 말이다. 공변역이라고도 한다.   함수(函數 function) 변수 x와 y 사이에 x의 값이 정해지면 따라서 y값이 정해진다는 관계가 있을 때, y는 x의 함수라고 한다. 이 때 x를 독립변수(獨立變數), y를 종속변수(從屬變數)라고 한다.

 

<알림> 경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다. 수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다. 공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)