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012. 모든 실수(實數)는 수직선에 존재한다
크기를 정의하지 못한 허수는 복소평면에 표기
경기도민뉴스 기사입력  2019/10/24 [07:08]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 중등과정에서 이차방정식과 근의 공식을 배운다. 근의 공식은 고교 1학년까지 기초적인 계산력의 기초가 되는 중요한 공식이다. 유도과정을 생략하고 공식만 외워서 활용하겠다는 학생들도 있는데, 대단히 바람직하지 않은 발상이다.


근의 공식에는 수학적추론이 가능한 많은 개념이 숨어있으므로, 반드시 공식의 유도과정을 익히고 깊이 생각해보는 것이 중요하다.


1) 제곱해도 마이너스(-)가 되는 허수
이차방정식 근의 공식에서 루트안이 마이너스(-)일때가 문제가 생긴다. 수학의 대전제는 어떠한 수든, 제곱을 하면 반드시 플러스(+)가 돼야하는데, 이에 대한 예외가 바로 허수다.


이 허수는 복소수라는 개념으로 이해할 수 있는데, 허수를 포함한 복소수는 수직선에 나타낼 수 없다. 말 그대로 크기를 비교할 수 있는 실수(實數)가 아니기 때문이다.

 

▲ 이차방정식 근의 공식. 중등과정에서는 붉은 점선 안의 루트 안의 수는 (-)가 되어서는 안된다고 배우지만, 고등학교에 올라가면 (-)일 경우 실근을 갖지않는다는 개념의 확장을 배운다.     © 경기도민뉴스



중세와 근세 수학자들은 이차방정식 근의 공식에서 루트안이 마이너스가 되는 것은 특별한 경우로 생각하고 예외적인 것이므로 취급하지 않았다.


그러나 제곱해서 ‘-1’이 되는 허수의 최소 단위(i)를 재발견하고, 수학적으로 정의하면서 고교과정에서도 예외적으로 허수를 배운다.

 

2) 제곱해도 (-)가 되는 허수
이탈리아의 수학자인 라파엘 봄벨리(1526~1572?)는 음수의 제곱근이 존재하는지에 대한 궁리 끝에 –9는 9×(-1)로 표기할 수 있다는 것에 착안했다.


따라서 –9의 제곱근은 9의 제곱근에 –1의 제곱근을 곱하는 방식으로 정의하면서 –1의 제곱근을 ‘i’로 나타냈다.


–1의 제곱근인 허수의 단위 ‘i’는 최초 수학자들조차도 엉터리라고 받아들이지 않았지만, 지금은 교류 전기와 관련 전기공학 계산 등에서 실제로 사용하고 있다.

 

이 허수(虛數, imaginary number)는 복소평면에 기하학적으로 나타낼 수 있다. x축과 y축이 있는 일반 좌표를 x축은 실수부로, y축은 허수부로 정하고 +, - 등 사칙연산 과정은 실수와 같이 계산해서 나타내면 된다.

 

굳이 수직선으로 허수를 제곱해도 마이너스가 되는 이유를 설명하라면, 실수끼리의 계산에서는 (-)×(-)는 180도 뒤집어지는 것이지만, 허수끼리의 곱셈은 180도를 넘지 못하고 90도만 움직이는 것으로 생각하면 될 것이다.

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)

 

 

기사입력: 2019/10/24 [07:08]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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