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013. 직관적 원 넓이공식 이해
원의 핵심개념은 중심과 반지름에서 출발
경기도민뉴스 기사입력  2019/11/06 [08:11]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 수학에서 가장 기본적인 도형은 원과 삼각형이다. 삼각형은 원을 제외한 모든 다각형의 기초가 되는 도형이고, 작도가 비교적 간단해 충분한 연구가 이뤄졌다.


반면 원은 작도는 간단하지만, 원의 성질을 완벽하게 이해한 것은 독일 수학자 페르니난트 폰 린데만이 원주율 ‘π’가 초월수라는 사실을 증명(1882년)하면서 부터다.

 

1) 모든 원은 닮은꼴이다
원의 수학적 정의는 ‘한 중심에서 같은 거리에 있는 점들의 집합’이다. 이 간단한 정의 안에는 ①원에는 한 개의 중심이 있다. ②이 중심에서 원둘레에 이르는 거리는 반지름이므로 모두 같다.는 의미를 품고 있다.

 

▲ 원의 크기를 결정짓는 반지름과 원의 둘레와의 비율은 간단한 정수비로 나타낼 수 없다. 즉, 무리수라는 의미이며 분수로 표현할 수 없다는 뜻이     ©경기도민뉴스


이 정의를 좀 더 발전시키면 ③모든 원은 ‘닮은 꼴’이고, ④원의 크기는 오직 ‘반지름’에 의해서 결정된다는 것을 알 수 있다.

 

수학적으로 원은 간단하게 정의했지만, 원의 넓이를 어떻게 구할 것인가 하는 새로운 문제가 생겼다. 역사적으로 수많은 수학자들이 원주율을 구하기 위해 노력했다.


원주율을 구하면 원의 넓이를 정확하게 구할 수 있기 때문이다.

 

2) 원은 지름과 원둘레와의 비율을 계산
수학자들은 오랜 연구 끝에 원의 지름(2r)과 원 둘레(원주)와의 사이에는 1:3.141592…라는 비례관계가 성립하는 것을 알게 됐다.


여기서, 지름의 크기가 1이라면, 원의 둘레의 크기는 ‘3.141592…’라는 근사치가 나온다. 근사치를 사용하는 것은 수학적으로 바람직하지 않으므로, ‘π’로 대체해 사용한다.

 

▲ 수학자들은 정확한 원의 넓이를 알기 위해 원주율을 구했다. 수많은 원과 사각형을 내접시켜 근사치를 구해냈다.     © 경기도민뉴스



그렇다면 원의 지름의 크기가 2라면, 원의 둘레의 크기는? 1일 때 ‘π’였으므로, 2라면 2‘π’가 될 것이다.
다시 돌아와서, 원의 지름은 2개의 반지름(2r)이므로, 원의 둘레는 2r에 π를 곱한 값이 된다.


r은 반지름의 크기이므로, 정해지지 않은 값이고, π는 반지름의 크기와 관계없는 비율을 나타내는 것이므로 비록 정확한 값은 알 수 없지만 고정된 값이다. 따라서 원의 둘레는 ‘2πr’로 표기한다.

 

3) 원을 무수히 얇게 쪼개고, 덧붙여 사각형으로 만들다
지름과 원의 둘레와의 관계는 넓이를 구하는 것과도 밀접한 관련이 있다.
현대수학은 원의 넓이를 미적분을 사용해 구한다. 공식이 아니고, 그림을 이용한 직관적인 설명을 하면 다음과 같다.

 



①먼저 원을 중심을 기준으로 잘게 나눈다(미분).
②이렇게 나눈 원을 아래위로 분리한다.
③분리한 원을 사각형으로 짜 맞춘다(적분).
④이제 사각형의 넓이로 계산한다.
⑤이렇게 나온 원의 넓이는 πrr이 된다는 것을 알 수 있다.

 

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2019/11/06 [08:11]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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