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015. 우주의 기본법칙, 피타고라스 정리①
직각삼각형 빗변의 제곱은 다른 두변의 각각 제곱의 합과 같다
경기도민뉴스 기사입력  2020/09/11 [08:07]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 피타고라스의 정리는 그리스의 수학자 피타고라스(BC 580~BC 500)가 발견해 정립한 수학의 매우 중요한 정리(定理) 중의 하나다. 우리나라에서는 중학 교과과정에서 기하하적으로 증명하는 과정을 학습한다.


전 세계적으로 피타고라스의 정리를 기하학적으로 증명하는 방법은 400가지가 넘는 것으로 알려지고 있다. 중학 교과과정에는 유클리드(BC 330?~BC 275?)가 소개한 기하학적 증명방법이 널리 알려진 편인데, 논증기하학의 방법을 사용해 좀 복잡한 편(증명과정 생략)이다.

 

▲ 유클리드가 소개한 피타고라스의 정리의 증명방법. 그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스

 

 

피타고라스의 정리는 ‘직각삼각형에서 빗변의 제곱은 다른 두변을 각각 제곱해서 더한 것과 같다’는 것이다. 피타고라스가 증명하기 이전에도 이집트, 중국, 인도 등 문명권에서는 삼각형의 각변의 길이가 3, 4, 5의 비율이면 직각삼각형이라는 것을 알고 토목건축 등에서 활용하고 있었다.


피타고라스는 이것이 모든 직각삼각형에서 성립한다는 것을 최초로 수학적으로 엄밀하게 증명했다. 물론 그 역도 성립한다.


피타고라스의 정리를 이용해 직각삼각형 중 한각이 30도인 것과 한각이 45도인 것을 기초로 직각삼각형의 세 개의 변의 길이의 비율을 유도해낸 것이 바로 삼각비다.

 

▲ 피타고라스의 정리를 활용한 직각삼각형에서의 특수각 정리. 그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스

 

<그림1>에서 밑변이 ‘1’이라면, 빗변은 ‘2’가 되고, 높이는 ‘√3’ 인 것을 피타고라스의 정리를 활용하면 쉽게 알 수 있다.
<그림2>는 이 삼각형을 눕혀놓은 것이므로 별 차이가 없다.
<그림3>은 직각 이등변 삼각형이므로 등변의 길이가 ‘1’이라면, 빗변의 길이는 √2 가 된다.

 

이 피타고라스의 정리의 중요성은 수학 전체에서도 아주 중요한데, 이 간단한 수식으로 수학의 중요한 각종 법칙을 유도해 낼 수 있기 때문이다.
각종 도형의 면적은 물론이고 평면좌표와 원의 성질을 결합해 삼각비, 삼각함수, 원의 방정식, 기하ㆍ벡터 등 그 활용이 무궁무진한 것이 바로 피타고라스의 정리다.
심지어 아인슈타인의 빛보다 빠른 것은 없다는 증명도 피타고라스의 정리만 알고 있다면 간단하게 할 수 있다.

[014] 우주에서 빛보다 빠른 것은 없다
피타고라스의 정리를 활용한 아인슈타인 이론의 증명
http://www.kdnews.co.kr/sub_read.html?uid=15380&section=sc5&section2=

 

 


실제 문제를 소개한다.
[교육원 모의평가 2017학년도 3월 고1 수학 7번문항 / 3점] 그림과 같이 평평한 지면 위에 설치된 가로등이 있다. 지면에 수직으로 세워진 기둥의 길이는 4미터고, 그 위로 길이가 2미터인 기둥이 수직인 기둥과 150도의 각을 이루며 연결되어 있다. 이 가로등의 지면으로부터의 높이가 h일 때, h의 값은?

 

▲ 학습자의 이해를 돕기 위해 문제의 그림을 한눈에 알아볼 수 있도록 재구성한 것이 오른쪽 그림이다. 그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스



[풀이] 이 문제는 삼각비를 이용, 문제를 해결할 수 있는지를 묻는 문제다. 그러나 피타고라스의 정리만 알면 쉽게 해결할 수 있다. 문제를 그림으로 다시 정리하면, 위와 같다.


작은 삼각형 ABC를 보면 빗변의 길이가 2다. 피타고라스의 정리는 역으로도 성립하므로, 이 삼각형의 각변의 길이는 1, 2, √3이다. 따라서 작은 삼각형에서 높이는 √3이다. 문제에서 4미터의 높이는 주어졌으므로, h는 4+√3이다.

 

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2020/09/11 [08:07]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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