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016. 호도법(라디안)의 비밀
‘반지름 1’인 원 기준…각의 크기와 부분 원둘레의 크기는 비례
경기도민뉴스 기사입력  2020/09/18 [07:38]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 원의 둘레의 길이는 2πr이고, 원의 넓이는 πrr이다. 원의 중심각의 크기는 360도이므로 반원의 중심각은 그 절반인 180도가 될 것이다. 원을 4등분 한 1개의 호의 각은 90도다.


그런데 각의 크기를 길이로 바꿀 수 있을까를 고민하던 수학자들은 ‘반지름 1’인 원을 생각해내고, 그 해법을 위에서 설명한 각의 크기와 원둘레의 길이가 비례한다는 점에 착안해 각의 크기를 길이로 변환한다.


즉 180도는 π로, 90도는 1/2π로 변환한 것이다. 반지름 r을 생략한 것은 앞서 설명한대로 ‘반지름 1’인 원을 기준으로 했기 때문이다.


고교과정에서 삼각함수를 학습하기 전 학생들을 괴롭히는 호도법(라디안)의 정체는 바로 이것이다. 그렇다면 ‘각의 크기’를 굳이 ‘길이’로 바꾸는 이유는 바로 각도가 지닌 애매함 때문이다.


예를 들어 10도+10도는 20도인 것을 간단하게 알 수 있다. 그렇다면 10도×10도는 100도일까? 10도÷10도는 1도가 될까?


수학에서 길이는 의미를 갖는다. 길이를 두번 곱하면 넓이를 의미한다. 세 번 곱하면 부피를 의미한다. 이제 각도가 갖는 애매함을 길이로 변환했으므로, 삼각함수도 미분적분이 가능해졌다. 수학적으로는 수많은 가능성을 개척한 셈이지만, 역설적으로는 학생들에게는 헬게이트가 열린셈이다.


앞서 지수법칙을 소개했는데, 제곱은 면적이고, 세제곱은 부피라는 의미도 있다는 것을 명심하면 실제 다양한 수학문제를 풀어내는 데 도움이 될 수 있다.

 

▲ 원에서, 중심각의 크기는 부분원의 둘레의 길이와 비례한다. 이에 착안해 각의 크기를 길이로 변환한 것이 호도법(라디안)이다.     ©경기도민뉴스

 

이제,
위의 그림에서와 같이 원 A에서 360도에 대응하는 원둘레의 길이는 2πr이다.
원 B에서 180도에 대응하는 원둘레의 길이는 절반이므로 πr이고, 원 C에서 90도에 대응하는 원둘레의 길이는 1/2πr이 된다.

 

그렇다면 면적은?
복잡한 원의 넓이를 구하는 공식을 사용할 필요 없이 상식선에서 생각해보자.

원 A의 넓이가 10이라면, 원 B의 180도에 대응하는 반원의 넓이는 5가 될 것이고, 원 C의 90도에 대응하는 1/4원의 넓이는 2.5가 될 것이다.
이상에서 반지름이 같은 부분원의 넓이는 중심각의 크기와 관련이 있다는 것을 알 수 있다.

 

[2012년 3월시행 고1모의평가 27번문항 / 4점]
그림과 같이 반지름의 길이가 7인 원A와 반지름이 2인 원B인 원모양의 두 바퀴에 벨트가 팽팽하게 감겨 있다. 두 바퀴의 중심 사이의 거리가 10일 때, 벨트와 바퀴가 닿은 두 부분의 길이의 합은 b/aπ이다. a+b의 값은?(단 a와 b는 서로소인 자연수이고, 벨트의 두께는 무시)

 



[풀이]
원 A에서 벨트와 중심으로 수직의 발을 내리rh, 원 B의 중심과 연결하면, 색칠한 직각삼각형에서 두변의 길이가 10, 5라는 것을 알 수 있다. 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의해 나머지 한변의 길이는 5√3이고, 세 각의 크기는 90, 30, 60인 것을 알 수 있다.


원둘레의 길이는 2πr이므로
원 A의 둘레의 길이는 14π, 원 B의 둘레의 길이는 4π.


부분원의 둘레의 길이는 중심각의 크기와 비례하므로, 
원 A의 벨트가 닿은 길이는 14π * 240/360 = 28/3π
원 B의 벨트가 닿은 길이는 4π * 120/360 = 4/3π
따라서 벨트와 바퀴가 닿은 두 부분의 길이의 합은 32/3π이고 a+b의 값은 35다.

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2020/09/18 [07:38]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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