HOME > 문화 >
필자의 다른기사 보기 인쇄하기 메일로 보내기 글자 크게 글자 작게
017. 직각 삼각형의 빗변은 원의 지름
원주각은 항상 90도, 피타고라스 정리 적용②
경기도민뉴스 기사입력  2020/09/23 [06:05]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 수학자들은 원과 삼각형과의 관계를 연구하기 시작했는데, 그중 가장 기초적인 것이 ‘원의 지름에서 원둘레의 한점을 연결하는 삼각형의 원주각은 항상 90도’라는 원주각의 정리다. 이 원주각의 성질은 그리스의 수학자 탈레스(BC624~BC545)가 증명한 것으로 널리 알려지고 있다.


증명은 간단하지만, 실제 활용은 간단하지만은 않다. 수학시험에서 직각삼각형이 등장하면, 일단 빗변은 원의 지름이라는 것을 절대 잊지 말고 명심하라. 또 피타고라스의 정리를 적용할 수 있는 지를 파악해라.

 

▲ 직각삼각형의 빗변은 언제나 원의 지름이고, 피타고라스의 정리를 적용할수 있다.     © 경기도민뉴스



의외로 문제가 쉽게 풀리는 단서가 바로 원주각의 정리다. 다시 한번 강조한다. 모든 직각삼각형의 빗변은 원의 지름이고, 피타고라스의 정리를 적용할 수 있다.


원주각의 정리를 통해 원과 삼각형의 성질을 간단하게 살펴보면

 

▲ 작은 빨간 삼각형으로 표시한 선분은 모두 원의 반지름이므로 길이가 같다. 그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스



위의 그림 중심이 O 인 한 원에서
지름 A-C 에서 원둘레에 있는 점 P 를 연결하는 각도의 크기는 항상 90도라는 것이 원주각의 정리다. 증명에는 원의 반지름은 모두 같다는 것과 이등변삼각형의 양 밑각의 크기는 같다는 성질을 이용한다.

 

[증명]
삼각형 A P C 의 내각의 합은 180도이므로
a + x + y + d = 180도.

삼각형 A P O 의 내각의 합은 180도이므로
a + b + x = 180도.

삼각형 P O C 의 내각의 합은 180도이므로
c + y + d = 180도.


삼각형 A P O 의 내각의 합과 삼각형 P O C 내각의 합을 더하면
( a + b + x = 180도 ) +( c + y + d = 180도)이므로
a + b + x + c + y + d = 360도.


그런데 b + c = 180도이므로
a + x + y + d = 180도.


각 a 와 x 는 이등변삼각형 A P O 의 양밑각으로 같고
각 y 와 d 는 이등변삼각형 P O C 의 양밑각으로 같다.


이상에서
a + x + y + d = 180도라는 식은
a (=x )+ x + y + d (=y )= 180도이므로.
2( x +y )=180도에서
x +y =90도라는 것을 알 수 있다.


탈레스는 기하학(삼각비)의 성질을 이용해 피라미드의 높이를 측량하고, 바다에 떠 있는 배까지의 거리를 계산했다. BC585년 5월28일에 일어난 일식을 예언한 것으로 유명하며, ‘우주의 본질은 물(水)’이라고 주장, 밀레토스 학파의 창시자로도 알려지고 있다.


[2015년 3월시행 고1수학 7번문항 / 3점]

그림과 같이 예각삼각형 ABC에서 AC=5, BC=7이다. 삼각형 ABC의 넓이가 14일 때, 변 AB의 길이는?

▲ 문제의 그림을 쉽게 도해한 것이 오른쪽 그림이다. 그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스

 

[풀이] 피타고라스 정리를 이해하고 삼각형의 변의 길이를 구한다.

 

그림과 같이 점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라 하자.


(삼각형 ABC의 넓이) = 1/2*BC*AH

                        14 = 1/2*BC(7)*AH, 따라서 AH는 4라는 것을 알수 있다.

이제 삼각형 ACH에서 피타고라스의 정리를 적용하면
(CH)^2 = (AC)^2 – (AH)^2이므로
          = (5)^2 – (4)^2
          = 9
따라서,
(CH) = 3
(BH) = 4

 

이제 삼각형 ABH에서 피타고라스의 정리를 적용하면
AB=4√2(4루트2).

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2020/09/23 [06:05]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
이 기사에 대한 독자의견 의견쓰기 전체의견보기
기사 내용과 관련이 없는 글, 욕설을 사용하는 등 타인의 명예를 훼손하는 글은 관리자에 의해 예고없이 임의 삭제될 수 있으므로 주의하시기 바랍니다.
닉네임 패스워드 도배방지 숫자 입력
내 용