[김쌤s’ 수학클리닉] = 중학과정 1~2학년 학생들이 힘들어 하는 것 중의 하나가 1차방정식이다. 1치방정식이라는 것은 미지수 X 가 제곱이 아닌 한번만 곱한 것이라는 의미다. 미지수 X 를 두번 제곱한 것이 2차방정식, 미지수 X 를 세번 제곱한것이 3차방정식이다.

이원(二元) 1차방정식이라는 것은 미지수가 2개라는 의미다. 일반적으로는 X 와 Y 를 미지수로 사용한다. 연립은 두 개의 방정식을 한쌍으로 놓고 문제를 풀이하는 것이다.

1차방정식에서 가장 기본이 되는 것이 소금물 농도 문제인데, 이해하기 쉽도록 설명해보기로 한다.
먼저 소금물의 농도를 구하는 공식은

농도(%)={(소금)/(소금+물)}*100 이다.

%라는 기호는 ‘percent’라고 읽는데, ‘per’는 한 개당 몇 개인가의 비율을 나타내는 접두어고, ‘cent’는 100이라는 의미다. 따라서 %는 계산하려는 대상이 몇개이든지 간에 기준을 100개로 만들어놓고, 그중에 몇개인지를 따지는 것이다.

이 소금물 농도 계산은 다음의 그림을 기본으로 해서 빈칸을 채우면 쉽게 해답을 구할 수 있다.

이해를 돕기 위한 문제를 풀어보자.

예제1-1) 소금+물이 100g일 때 농도가10%라면, 소금의 양은?
풀이

알고 있는 것은 빈칸에 채우고, 모르는 것만 남겨둔다. 이때 ‘소금+물’은 하나로 본다.
따라서, 식은
10% = {소금(?) / 소금물(100)}×100 이므로,
순수한 소금의 양은 10g이다.

예제1-2) 농도 10% 소금물에서, 소금의 양이 15g일 때, 소금물의 양은? 

 앞의 문제를 살짝 변형한 것이다. 
10=(15/x)*100이므로
10x=1500, x=150

예제2) 농도가 다른 두 소금물 A, B를 각각 100g씩 섞으면 10%의 소금물이 되고, A를 100g, B를 300g 섞으면 9% 소금물이 된다. 소금물 B의 농도는?

<풀이>
먼저 문제에 맞게 그림을 일단 그려본다.

A의 농도를 X, B의 농도를 Y 라 놓으면

{(X/100)×100} + {(Y/100)×100}=(10/100)×200

{(X/100)×100}+{(Y/100)×300}=(9/100)×400 이므로

X + Y  = 20
X + 3Y  = 36

연립하면 X =12, Y =8

예제3) 5%소금물과 80%소금물을 섞어 30% 소금물 500g을 만들려고 한다. 각각 섞어야 할 5% 소금물과 80% 소금물의 양은?

<풀이>

그림과 같이 점선의 윗부분은 윗부분 끼리, 아래 부분은 아래 부분끼리 더한다.
5%소금물과 80%소금물에서 각각의 소금과 물의 양은 알 수 없지만, 농도는 알고 있다.
5% 소금물(S+W)의 양을 X, 80% 소금물(S+W)의 양을 Y 라 하면
X +Y =500(g)이고
30% 소금물 500g에 녹아있는 소금의 양은 150g이다.
즉, (5/100)X +(80/100)Y =(30/100)×500 이므로
연립하면 X=1000/3(g), Y =500/3(g)
즉 5%소금물은 1000/3(g), 80%소금물은 500/3(g)을 섞어주면 된다.

예제4) 10%소금물 100g에 20%소금물을 섞어 12%로 맞추려고 한다. 더 넣어야 할 20% 소금물의 양은?
<풀이>일반적으로 구하고자 하는 것을 미지수 X 로 놓는다.
따라서,
20% 소금물을 X, 12% 소금물을 Y 라 놓으면,

점선아래부분만 먼저 계산하면
100+X =Y

점선 윗부분만 계산하면
(10/100)*100 + (20/100)X = (12/100)Y
1000+20X  = 12Y
1000+20X  = 12(100+X)
8X  = 200
연립하면 X=25(g), Y=125(g)

예제5) x% 소금물 200g과 y% 소금물 400g을 섞었더니 10%소금물 600g이 됐다. 식을 만들어라.
<풀이>

{(X/100)*200}+{(Y/100)*400}=(10/100)*600
2X+4Y=60

예제6) 5%소금물 200g에 10%소금물(g)을 섞어 농도를 8%로 만들려 한다. 넣어야할 10%소금물의 양은?

풀이

5%소금물(200g, s=10, w=190)  + 10%소금물(X)  = 8%소금물(Y)
소금물은 200+X=Y
소금물의 농도는 {(5/100)*200}+{(10/100)*X}=(8/100)Y
연립을 풀면

x=300, Y=500

따라서 10%소금물은 300(s=30, w=270), 그렇게 만든 8%소금물은 500(s=40, w=460)

예제7)  5%의 소금물 300g이 있다. 여기에 몇 g의 물을 더 넣으면 2%의 소금물이 되겠는가?
<풀이>
→(소금의 양) = (소금물의 양)×(농도)
5% 소금물 300g의 소금의 양은 300×(5/100)
2% 소금물 (300+X )g의 소금의 양은 (300+X )×(2/100)

농도는 다르지만 두 소금물의 소금의 양은 같으므로,
300×(5/100)= (300+X )×(2/100)
       1500 = 600+2X
         2X = 900
       ∴ X = 450
물 450g을 넣어야 한다.