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019. 중등 1차방정식 ①소금물 농도
사각형을 위, 아래로 나눠 ‘소금’과 ‘소금+물’의 계산
경기도민뉴스 기사입력  2020/10/09 [09:57]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 중학과정 1~2학년 학생들이 힘들어 하는 것 중의 하나가 1차방정식이다. 1치방정식이라는 것은 미지수 X 가 제곱이 아닌 한번만 곱한 것이라는 의미다. 미지수 X 를 두번 제곱한 것이 2차방정식, 미지수 X 를 세번 제곱한것이 3차방정식이다.


이원(二元) 1차방정식이라는 것은 미지수가 2개라는 의미다. 일반적으로는 X 와 Y 를 미지수로 사용한다. 연립은 두 개의 방정식을 한쌍으로 놓고 문제를 풀이하는 것이다.


1차방정식에서 가장 기본이 되는 것이 소금물 농도 문제인데, 이해하기 쉽도록 설명해보기로 한다.
먼저 소금물의 농도를 구하는 공식은

 

농도(%)={(소금)/(소금+물)}*100 이다.


%라는 기호는 ‘percent’라고 읽는데, ‘per’는 한 개당 몇 개인가의 비율을 나타내는 접두어고, ‘cent’는 100이라는 의미다. 따라서 %는 계산하려는 대상이 몇개이든지 간에 기준을 100개로 만들어놓고, 그중에 몇개인지를 따지는 것이다.


이 소금물 농도 계산은 다음의 그림을 기본으로 해서 빈칸을 채우면 쉽게 해답을 구할 수 있다.

 

이해를 돕기 위한 문제를 풀어보자.

예제1-1) 소금+물이 100g일 때 농도가10%라면, 소금의 양은?
풀이


알고 있는 것은 빈칸에 채우고, 모르는 것만 남겨둔다. 이때 ‘소금+물’은 하나로 본다.
따라서, 식은
10% = {소금(?) / 소금물(100)}×100 이므로,
순수한 소금의 양은 10g이다.


예제1-2) 농도 10% 소금물에서, 소금의 양이 15g일 때, 소금물의 양은? 

 


 앞의 문제를 살짝 변형한 것이다. 
10=(15/x)*100이므로
10x=1500, x=150


예제2) 농도가 다른 두 소금물 A, B를 각각 100g씩 섞으면 10%의 소금물이 되고, A를 100g, B를 300g 섞으면 9% 소금물이 된다. 소금물 B의 농도는?

<풀이>
먼저 문제에 맞게 그림을 일단 그려본다.

A의 농도를 X, B의 농도를 Y 라 놓으면

{(X/100)×100} + {(Y/100)×100}=(10/100)×200

 

{(X/100)×100}+{(Y/100)×300}=(9/100)×400 이므로


X + Y  = 20
X + 3Y  = 36

연립하면 X =12, Y =8

 

예제3) 5%소금물과 80%소금물을 섞어 30% 소금물 500g을 만들려고 한다. 각각 섞어야 할 5% 소금물과 80% 소금물의 양은?

 

<풀이>

그림과 같이 점선의 윗부분은 윗부분 끼리, 아래 부분은 아래 부분끼리 더한다.
5%소금물과 80%소금물에서 각각의 소금과 물의 양은 알 수 없지만, 농도는 알고 있다.
5% 소금물(S+W)의 양을 X, 80% 소금물(S+W)의 양을 Y 라 하면
X +Y =500(g)이고
30% 소금물 500g에 녹아있는 소금의 양은 150g이다.
즉, (5/100)X +(80/100)Y =(30/100)×500 이므로
연립하면 X=1000/3(g), Y =500/3(g)
즉 5%소금물은 1000/3(g), 80%소금물은 500/3(g)을 섞어주면 된다.

 

예제4) 10%소금물 100g에 20%소금물을 섞어 12%로 맞추려고 한다. 더 넣어야 할 20% 소금물의 양은?
<풀이>일반적으로 구하고자 하는 것을 미지수 X 로 놓는다.
따라서,
20% 소금물을 X, 12% 소금물을 Y 라 놓으면,


점선아래부분만 먼저 계산하면
100+X =Y


점선 윗부분만 계산하면
(10/100)*100 + (20/100)X = (12/100)Y
1000+20X  = 12Y
1000+20X  = 12(100+X)
8X  = 200
연립하면 X=25(g), Y=125(g)

 

예제5) x% 소금물 200g과 y% 소금물 400g을 섞었더니 10%소금물 600g이 됐다. 식을 만들어라.
<풀이>


{(X/100)*200}+{(Y/100)*400}=(10/100)*600
2X+4Y=60

 

예제6) 5%소금물 200g에 10%소금물(g)을 섞어 농도를 8%로 만들려 한다. 넣어야할 10%소금물의 양은?

풀이

5%소금물(200g, s=10, w=190)  + 10%소금물(X)  = 8%소금물(Y)
소금물은 200+X=Y
소금물의 농도는 {(5/100)*200}+{(10/100)*X}=(8/100)Y
연립을 풀면

x=300, Y=500

따라서 10%소금물은 300(s=30, w=270), 그렇게 만든 8%소금물은 500(s=40, w=460)

 

예제7)  5%의 소금물 300g이 있다. 여기에 몇 g의 물을 더 넣으면 2%의 소금물이 되겠는가?
<풀이>
→(소금의 양) = (소금물의 양)×(농도)
5% 소금물 300g의 소금의 양은 300×(5/100)
2% 소금물 (300+X )g의 소금의 양은 (300+X )×(2/100)

 


농도는 다르지만 두 소금물의 소금의 양은 같으므로,
300×(5/100)= (300+X )×(2/100)
       1500 = 600+2X
         2X = 900
       ∴ X = 450
물 450g을 넣어야 한다.

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2020/10/09 [09:57]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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