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020. 중등 1차방정식 ②시간거리속도
속도가 빨라지면 시간은 줄어들고 거리는 늘어난다
경기도민뉴스 기사입력  2020/10/15 [06:48]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 중등과정 1차방정식에서 시간 거리 속도의 관계를 묻는 문제를 특히 어려워하는 학생들이 많다. 상식선에서 생각해보자. 집에서 학교까지 ⅰ)걷는 것, ⅱ)자전거로 가는 것, ⅲ)차로 가는 것 셋중에 뭐가 가장 빠를까? 극심한 교통정체 등의 돌발변수가 없다면 차량이동이 가장 빠를 것이다.
이 문제에서 집-학교(거리)는 변하지 않았다. 변한 것은 교통수단의 차이에 따른 속도뿐이다.
그렇다면 속도는 무엇과 관계가 있는가? 바로 시간이다. 시간이 줄어들면, 속도가 높아진다(빨라진다. 커진다).
한시간동안 ⅰ)걷는 것, ⅱ)자전거로 가는 것, ⅲ)차로 가는 것 중에는 어떤 것이 가장 멀리 갈까? 상식적으로 차로 이동하는 것이 가장 멀리 갈 것이다. 시간은 변동이 없는데 속도가 변하므로, 이동거리도 변한 것이다.
이상에서 이동거리(s)는 속도(v)에 소요시간(t)을 곱한 것(s=vt)이고, 속도(v)는 이동거리(s)를 소요시간(t)으로 나눈 것임을 알 수 있다. 또한 소요시간(t)은 이동거리를 속도로 나눈 것이다.

 

▲ 시간, 거리, 속도의 관계식. 그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스

 

A. 기차의 길이와 관련한 문제
예제1) 일정한 속력으로 달리는 기차가 있다. 길이가 480M인 터널을 통과하는 데는 36초가 걸리고, 길이가 120M인 터널을 통과하는 데는 12초가 걸린다. 이때, 이 기차의 길이를 구하여라.
풀이

       기차의 길이 (X )           시간       거리         속력 

                   X                36초     480m        일정(v)

                   X                12초     120m        일정(v)


문제에서 제시한 단서는 기차의 속력이 같다는 것과, 터널의 길이다. 기차가 터널을 통과하는 시간은 터널입구에 기차의 머리가 들어간 직후부터 기차의 꽁무니가 터널출구로 나온직후까지다.
생각을 바꿔서, 기차와 터널을 아예 하나로 생각해보자. 기차와 터널이 통째로 움직이면서 한 지점을 통과한다고 생각을 전환해도, 기차가 터널을 통과하는 시간은 변동이 없다.


이제 기차의 길이를 X 라 하면,
시간거리속도의 관계식 중 속력과 관련한 식 v=s/t를 활용해
V =(480+X) / 36 --- ①
(길이 480M인 터널에 기차의 길이 X 를 더함)
V =(120+X) / 12 --- ②
(길이 120M인 터널에 기차의 길이 X를 더함)
①=②이므로 연립하면,
(480+X)/36=(120+X)/12 -----우변의 분모ㆍ분자에 3을 곱해서 분모를 같게 한다.
480+X=360+3X
120=2X, X=60
∴ 기차의 길이는 60M

 

예제2) 일정한 속력으로 달리는 열차가 길이 1600m인 터널을 완전히 통과하는 데는 15초 걸리고, 2Km인 철교를 완전히 통과하는 데는 18초 걸린다. 기차의 길이는?
풀이
       시간                  거리(터널+기차의 길이)              속력
       15초                  터널 1600m + X                      일정(v)
       18초                  철교 2000m + X                      일정(v)

구하려는 기차의 길이를 X 로 놓으면
15초일 때 기차의 길이는 (1600+X)이고, 18초일 때 기차의길이는 (2000+X)가 된다.
속도가 일정하고, 시간이 주어졌다. 따라서  v=s/t공식을 이용하면
  V =(1600+X ) /15 ---- ①
  V =(2000+X ) /18 ---- ②
여기서, 터널의 길이와 통과한 시간은 다르지만, 열차의 속도는 같다. 따라서 ①=②이므로
(1600+X /15)=(2000+X ) /18  ←양변에 90을 곱하면
6(1600+X )=5(2000+X )
6*1600+6*X =5*2000+5*X
X=10000-9600
∴ X=400          정답=400m

 

예제3) 어떤 기차가 일정한 속력으로 길이 200M의 철교를 완전히 건너는 데 15초가 걸렸고, 이 기차가 같은 속력으로 길이 240M의 터널을 통과할 때는 12초 동안 기차가 보이지 않았다. 이때 기차의 길이를 구하여라.
풀이
앞의 문제와 같은 방식으로 생각해서 풀면,
V =(200+X ) / 15 --- ①
(길이 200M인 터널에 기차의 길이 X 를 더함)
V=(240+X ) / 12 --- ②
(길이 240M인 터널에 기차의 길이 X 를 더함)
①=②이므로 연립하면,
(200+X ) / 15=(240+X ) / 12
800+4X=1200+5X
400=X
∴ 기차의 길이는 400M


B. 두사람이 만나는 문제
예제4) 둘레의 길이가 1500M인 호수를 수정이와 지영이가 같은 지점에서 동시에 출발해, 같은 방향으로 돌면 50분후에 수정이가 지영이를 한 바퀴 앞선다. 서로 반대방향으로 돌면 10분후에 처음으로 서로 만난다. 수정이와 지영이가 1분 동안 걸은 거리는?
풀이
그림과 같이 수정이의 속도가 더 빠르므로, 같은 방향으로 출발하면 지영이가 호수를 다 돌기 전에 수정이는 이미 한 바퀴 돌고난 후, 지영이를 따라잡아 만난다. 이 말은 수정이와 지영이 모두 움직인 시간은 같지만, 움직인 거리는 다르다는 말이다.
반대방향으로 돌았을 경우에도 수정이와 지영이 모두 움직인 시간은 같지만, 움직인 거리는 다르다.

▲ 같은 방향일때. 그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스

           같은방향              시간        거리(S=VT )               속력
             수정                   T            S =(50 X )                  X
             지영                   T            S =(50 Y )                  Y

 

▲ 반대 방향일때. 그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스

           반대방향              시간        거리(S=VT )               속력
             수정                   T            S =(10 X )                  X
             지영                   T            S =(10 Y )                  Y

수정이 1분 동안 간 속도를 X, 지영이가 1분 동안 움직인 속도를 Y 라 하면, 둘이 움직인 시간은 같지만, 속도가 다르므로 움직인 거리도 달라진다.
50분 후에는 수정이가 지영이보다 한 바퀴 더 앞서야 하므로, 거리공식 S=VT 를 사용한다.
호수의 둘레의 길이는 1500m이므로 한 바퀴 앞선다는 것은 수정이가 지영이보다 1500m 앞 서 있다는 얘기다.

따라서,
수정이가 움직인 거리에서 지영이가 움직인 거리를 빼면 호수 둘레의 길이 1500m가 나온다.
50X – 50Y =1500 ---①
​또, 서로 반대방향으로 돈다는 얘기는 마주보고 걸으므로 둘이 걸은 거리를 더하면 1500m라는 의미다.
10X +10Y =1500 ---②
연립하면,
X=90, Y=60

예제5) 매분 80m의 속력으로 집에서 아들이 학교를 향해 등교하고 있다. 20분 뒤에 준비물을 두고 간 것을 알고 아버지가 자전거를 타고 매분 400m의 속력으로 뒤따라갔다. 아버지가 출발 후 아들과 만나는 시간은?
풀이
​아버지와 아들이 움직인 거리는 같다. 다만 시간과 속도는 다르다. 그런데 속도는 주어졌다.
따라서 S=VT 공식을 이용한다.

S(아들)=80T
S(아버지)=400T
인데 중요한 것은 아들이 아버지보다 20분 더 움직였다. 따라서 2개의 식을 같게 하려면 아들에게서 20분을 빼거나, 아버지에게 20분을 더해줘야 한다.

따라서,
80T = 400T + 20

어~ 아무래도 뭔가 이상하다? 뭐가 잘못됐지?
S=VT에서
아들은 아버지보다 20분 더 걸었다.
즉, S(아들)=80T 가 아니라 S(아들)=80*(T+20)…①이라야 맞는다.
아버지는 그냥 S(아버지)=400T…②
두 사람이 움직인 거리는 같으므로 ① = ②가 된다.
80*(T+20)=400T
80T+1600=400T
​320T =1600
∴ T =5          정답= 5분

 

​C. 속도가 변하는 문제
예제6) 갈 때는 시속 3Km로 걷고, 올 때는 시속 5Km로 걸어서 64분이 걸렸다. 거리는?
풀이
      갈 때                   시간             거리(S=VT )                 속력
                                X                S =(3X )                   3Km/h
     올 때                   시간             거리(S=VT )                 속력
                                Y                S =(5Y )                    5Km/h

 

총 소요시간 X +Y =64
간 거리와 돌아온 거리가 같다. 주어진 단서는 속도와 왕복에 걸린 시간이다. 따라서 T=S/V공식을 사용한다.
64=(S /3)+(S /5)  ⇔ 왕복시간 64분 = 거리(?)/갈 때의 속도 + 거리(?)/올 때의 속도
15*64=5S +3S (이 때 곱셈은 대부분 약분되므로 굳이 계산할 필요가 없다)
15*64=8S
∴ S =15*64/8
     =15*8
     =120

어? 그런데 뭔가 이상하다? 뭐가 잘못됐지?
시속이란⇒1시간동안에 간 거리를 의미한다. 따라서 64분이라는 시간을 시각으로 고치던가 아니면 64/60으로 바꿔줘야 한다.
처음부터 다시,
64/60=(S/3)+(S/5)
← 분모를 없애기 위해 양변에 60을 곱해서 정리하면,
64=20S+12S
32S=64
∴ S=2          정답=2Km

 

​예제7) A지점에서 B지점까지 가는 데, 시속 10km인 자전거로 가면 시속 60km인 자동차로 가는 것 보다 1시간이 더 걸린다고 한다. 두 지점 A, B사이의 거리를 구하여라.
풀이
(걸린 시간) = (거리) / (속력)
A, B의 거리를 X km라 하면

자전거로 간 시간 : (X / 10) 시간
자동차로 간 시간 : (X / 60) 시간

(자전거로 간 시간) = (자동차로 간 시간) + 1 이므로
X /10 = X / 60 + 1
   6X = X + 60
 ∴ X = 12
두 지점 A, B사이의 거리는 12km이다.


예제8) A에서 B까지 100km의 거리를 2시간 만에 왕복하려 하는데, 갈 때는 차량정체로 시속 80km의 속도로 갔다. 올 때는 얼마의 속도로 와야 2시간 안에 출발점으로 도달하겠는가?
풀이
(걸린 시간) = (거리) / (속력)
A~B의 거리는 100 km로 주어졌다.
A→B→A에 걸린 시간이 2시간이어야 한다.
갈 때의 속도는 알지만 올 때의 속도는 알 수 없으므로

2={100(S)/80(V)}+{100(S)/X (V)}
​계산하면,
3X=400
따라서 올 때는 400/3(km/h)로 달려야 한다.

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2020/10/15 [06:48]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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