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032. 근의 공식, 완전제곱 꼴로 유도
이차방정식 근의 공식에 숨어있는 복소수 개념
경기도민뉴스 기사입력  2021/01/11 [07:37]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 수능 수학시험에 인수분해가 직접적으로 출제되지는 않지만, 인수분해는 각종 수식을 풀어내는 유용한 도구중의 하나다. 수학에서 ‘+’나 ‘–’로 연결된 식을 다항식이라고 한다. 인수분해는 이 다항식을 ‘×’나 ‘÷’로 연결해 한 개의 식으로 변환하는 것이다.


괄호는 그 자체로 한 개의 뭉치이므로, 괄호안의 ‘+’나 ‘–’로 연결된 식은 괄호 자체를 하나의 수로 생각해도 큰 무리는 없을 것이다. 괄호와 괄호로 연결된 식은 ‘×’가 생략된 것이므로, 하나의 수식으로 생각한다.
인수분해는 이차방정식 근의 공식을 유도할 때도 사용한다.


이차방정식의 근의 공식을 유도하기에 앞서 먼저 간단한 식을 하나 살펴보자.
x^2-4=0이라는 식은
x^2=4로 변형할 수 있다.
우리가 구하는 것은 x의 값이므로, 자기 자신을 제곱해서 4가 되는 수는 ‘+2’와 ‘-2’, 두 개가 있다는 것을 알 수 있다.


이제 좀 더 복잡한 식을 알아보자

 



1)은 이차다항식을 인수분해해 (x+1)이라는 항(項)이 두 번 곱해진, 즉 완전제곱으로 나타낸 것이다.
2)는 이차다항식을 인수분해하는 방법을 나타낸 것이며, 3)은 완전제곱의 형태로 변형하는 과정이다. 완전제곱을 유도하기 위해서는 일차항의 계수의 절반을 제곱한 것을 ‘+’, ‘-’ 해준다. 이때 일차항의 계수의 부호는 ‘+’이든, ‘-’이든 상관없다(제곱하므로).


위의 식에서
일차항의 계수인 2에 1/2을 곱하면 1이 된다. 여기에 0(+1-1)을 더해도 이 식은 변하지 않는다. 본론으로 들어가서, 이차방정식의 근의 공식도 완전제곱식을 활용해 유도한다.

 

▲     © 경기도민뉴스



이 이차방정식의 근의 공식을 유도하는 과정은 매우 중요한데, 실제 이차방정식을 계산하다보면 근호 안이 0보다 작은 경우가 있기 때문이다. 근대 유럽에서도 수학자들은 근호 안이 0보다 작은 경우는 예외적인 것으로 생각했다.


근호 안이 0보다 작은 것을 허수(虛數, Imaginary number)로 정의하자, 복소수(複素數, complex number)도 정의할 수 있게 됐고 수학의 또 다른 발전이 시작됐다.

기사입력: 2021/01/11 [07:37]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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