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033. 직각삼각형의 빗변은 원의지름(2)
하나의 원에서 반지름의 크기는 모두 같다
경기도민뉴스 기사입력  2021/01/15 [17:45]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 중학교 2학년 과정의 기초도형 문제중의 하나를 소개한다. 한때 인터넷에서 문제의 난도가 심하다는 의견도 있었고, 풀이과정을 상세히 알려달라는 의견도 많던 문제중의 하나다.


문제 : 직각사각형 ABCD가 있고, AC=CG이고 EG=GF이다. 이때 왼쪽그림에서 각X의 크기는?

 

 

풀이
중등과정은, 고등과정과 달리 논증기하로 문제를 풀이하므로, 오히려 복잡한 편이기는 하다.
오른쪽 그림은


①모든 직각삼각형의 빗변은 외접원의 지름이다.
②같은 호에서 연결한 원의 중심각의 크기는 원주(원둘레)를 연결한 각의 크기의 2배(삼각형의 외심의 성질 중 하나)다.
라는 2개의 정리에


③평행 보조선을 넣어서 마주보는 엇각은 크기가 같다를 바탕으로 정리한 것이다.

 

 

삼각형 CEF는 직각삼각형이므로,
G는 외접원의 중심이고,


따라서 ▲(색과 상관없이)로 표시한 선분은 원의 반지름이므로 모두 크기가 같다.

 

선분 CE에서 원의 중심과 만나 이루는 각Z의 크기는,
삼각형의 외심의 성질에 의해
선분 CE에서 원주와 만나 이루는 각Y의 크기의 2배다.

각BAE는 평행선의 엇각이므로 X의 크기와 같다.


따라서
각BAD(90°)=X+Y(X+X)+33이므로
90=3X+33
3X=57
X=19


따라서 정답 19도

 

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2021/01/15 [17:45]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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