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035. 삼각함수 sin, cos의 의미(1)
피타고라스 정리가 삼각비의 기초
경기도민뉴스 기사입력  2021/02/10 [06:15]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 우스개로 수학에서 영어알파벳이 나오기 시작하면 어려워지고, 그리스문자가 나오면 더 어려워진다는 속설이 있다. 삼각함수는 중등 3학년2학기 마지막과정에 삼각비라는 형태로 등장한다.


1) 직각삼각형의 세변의 길이 관계
삼각함수를 알기 위해서는 먼저 삼각비를 알아야 하는 데, 삼각비는 직각삼각형을 기초로 한 것이다. 삼각비는 직각삼각형 중 한각이 30도인 것과 한각이 45도인 것을 기초로 한다.

 



<그림1>에서 밑변이 1이라면, 빗변은 2가 되고, 높이는 √3인 것을 피타고라스의 정리를 활용하면 쉽게 알 수 있다.
<그림2>는 이 삼각형을 눕혀놓은 것이므로 별 차이가 없다.


<그림3>은 직각 이등변 삼각형이므로 등변의 길이가 1이라면, 빗변의 길이는 √2가 된다.

 


2) 빗변을 기준으로 높이sin 밑변cos
이것을 기초 삼각비라고 하는데, 빗변을 분모로, 높이를 분자로 나타낸 것을 sin(사인)이라고 한다. 분수는 비례관계를 나타내므로, sin(사인)은 결국 빗변을 기준으로 한 높이의 관계를 표시한다.


빗변을 기준으로 한 밑변과의 관계는 cos(코사인)이고, 밑변을 기준으로 한 높이와의 관계는 tan(탄젠트)라고 표기하고 읽는다.


이 삼각비의 기초값은 측량현장에서 실용적으로 활용하고 있다 연원적으로는 탈레스가 이집트에서 피라미드의 높이를 측정할 때 삼각비를 활용했다는 얘기가 전한다. 피타고라스정리로도 가능하다.

 



천문학에서는 지구에서 항성(恒星)까지의 거리를 측정할 때 ‘연주시차’를 사용한다. 지구는 태양을 중심으로 공전하므로, 지구가 공전 주기의 양 끝에 위치할 때 관측한 별의 각도를 측정하는 것이다. 우주에서 관측대상인 별은 모두 항성(恒星)이므로, 천구에 고정돼 있고 지구의 공전궤도는 크기를 알고 있다.


따라서 지구의 공전궤도를 양 끝점으로 잡고 관측대상인 별까지의 관측각도를 측정해 거대한 삼각형을 그리고, 삼각비를 활용해 거리를 계산하는 것이다.

 


3) sin15, cos15, tan15의 계산법
다음 직각삼각형에서 sin15=AD/AB, cos15=BD/AB, tan15=AD/AD이고,
편의상 AD의 길이를 1이라 하면,
삼각형ACD의 각변의 길이는 피타고라스정리와 삼각비에 따라 각각 1, 2, √3이다.

 



이때 각Y의 크기는 150도이므로, 각X의 크기는 15도이고, 삼각형 ABC는 이등변삼각형(삼각형의 내각의 합은 180도)이라는 것을 알 수 있다.

따라서 BC=2다.


sin15를 구하기 위해서는 AB의 길이를 알아야 한다.
피타고라스정리에 따라

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

삼각비와 피타고라스정리에 대해 2019년3월 고1 학평에서 기초적인 문제를 발췌했다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 




12. 그림과 같이 반지름의 길이가 8이고 중심각의 크기가 90°인 부채꼴OAB에서 선분OA 위에 OP=6이 되도록 점P를 잡는다. 점P를 지나고 선분OA에 수직인 직선이 호AB와 만나는 점을 Q라 할 때, 선분 AQ의 길이는?[3점]
풀이
이문제는 피타고라스 정리를 이해하고 있는지를 묻고 있다.

 



그림과 같이 두 점 O와 Q를 선분으로 연결하면
선분 OQ의 길이는 부채꼴 OAB의 반지름의 길이와 같으므로
OQ=8
선분 PQ와 선분 OA는 수직이므로
두 삼각형 OPQ와 삼각형 AQP는 직각삼각형.
직각삼각형 OPQ에서 피타고라스 정리에 따라 

 

 

 

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2021/02/10 [06:15]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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