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036. 삼각함수, 삼각형과 원의 관계(2)
단위원에서 sin은 y의 값, cos은 x의 값
경기도민뉴스 기사입력  2021/02/21 [21:46]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 삼각함수는 삼각비에서 발전한 것으로, 삼각형과 원의 관계를 알아야 한다. 앞서 <호도법(라디안)의 비밀>편에서 라디안은 각의 크기를 길이로 변환한 것이라고 설명했다.


원의 둘레의 길이는 2πr이고, 이에 대응하는 각의 크기는 360°다. 명확성을 중시하는 수학에서, 반지름 r을 1로 확정하면, 360°는 2π로 나타낼 수 있다. 180°는 π이고, 90°는 1/2π가 된다.


1) ‘반지름 1인 단위원’이 기준이다
피타고라스정리를 통해 직각삼각형일 때 각 변의 비례관계는 계산할 수 있지만, 직각삼각형이 아닐 때도 삼각형의 각 변의 비례관계를 알 수 있다. 좌표평면에서 원점이 중심이고 반지름이 1인 원을 그린다. 수학에서는 ‘반지름이 1인 원을 단위원’이라고 하는데, 그 이유는 계산의 편의를 위한 것이다.

 



먼저 1사분면에서 원 위의 한 점을 정하고, 원점과 원위의 한 점을 연결하는 삼각형을 작도한다.
삼각함수의 정의에 따라 사인은 높이/빗변이므로 그냥 y의 값이 사인의 값이 된다. 빗변은 반지름이고, 그 길이가 1이므로 그런 것이다.


코사인은 밑변/빗변인데, 역시 빗변이 1이므로 코사인의 값은 x의 값과 같다.
같은 원리로 탄젠트를 보면 y/x가 된다는 것을 알 수 있다.


여기서 다시 한 번 피타고라스의 정리(빗변의 제곱은 나머지 각 변들의 제곱의 합과 같다)를 사용하면, 사인제곱의 합과 코사인제곱의 합은 1이 되는 것을 알 수 있다.


그림에서 x의 값이 곧 cos의 값이고, y의 값이 sin의 값이라는 것을 알 수 있다.
피타고라스정리에 의해 x^2+y^2=1이므로 결국 sin^2+cos^2도 1이라는 것을 알 수 있다.

 


2) 직각삼각형 아니어도 비례관계 파악
원을 활용해 삼각함수를 정의하면 또 다른 편리한 점이 있는 데, 그것은 바로 직각삼각형이 아닌 경우에도 함수 값을 알 수 있다는 것이다.
우리는 삼각비의 기초값을 알기 위해 직각삼각형만을 다뤘다. 그런데 이제 둔각삼각형을 다뤄보자.


예를 들어 사인 120도의 값은 얼마인지를 알기 위해 둔각 삼각형을 그려도, ‘높이/빗변’가 사인이라는 정의에 따라 직관적으로 이해하기란 쉽지 않다.


이제 이것을 원과 삼각형을 활용한 삼각함수의 정의방법에 따라 y축을 기준으로 왼쪽으로 30도만 더 나아간 선을 그어보자. 그림에서 보는 B(x, y)가 바로 그것이다.


원과 삼각형을 활용한 삼각함수에서 사인 값은 y의 값과 같으므로 1사분면의 사인 60도의 값(2분의 루트 3)과 같음을 알 수 있다. 코사인 120도 역시 1사분면의 코사인 60도의 값과 같은 1/2이지만, x가 음수 축에 있으므로 부호는 마이너스임을 쉽게 알 수 있다.


이 방법은 좌표평면(x, y로 나눠지는 4개의 평면을 오른쪽부터 각각 1사분면, 2사분면, 3사분면, 4사분면이라고 한다) 어디에서든 같은 원리로 활용할 수 있으므로, 모든 각을 정의할 수 있다.

 

 

기사입력: 2021/02/21 [21:46]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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