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011. 무리수는 수직선 위의 실수다
실수(實數)의 특징은 크기를 비교할 수 있는 것
경기도민뉴스 기사입력  2018/11/28 [04:25]
[김쌤s’ 수학클리닉] = 수(數)는 크게 실수(實數)와 허수(虛數)로 나뉜다. 실수는 다시 유리수(有理數)와 무리수(無理數)로 나뉜다. 유리수와 무리수는 모두 수직선 위에 표시할 수 있다. 수직선 위에 표시할 수 있는 수는 크기의 비교가 가능하다는 것을 의미한다.
 
 
1) 수직선이 곧 실수 전체의 집합
무리수는 순환하지 않는 무한소수로 간단한 정수의 비로 나타낼수 없다. 대표적인 것이 원주율(π, 파이라 읽는다)과 루트다.

우리나라 고교과정까지의 수학은 특별한 경우를 제외하고는 실수범위에서만 수학을 학습한다. 실수와 허수의 가장 큰 차이점은 실수는 수직선위에 표시할 수 있다는 것이고, 허수는 표시할 수 없다는 것이다.

실수를 수직선위에 표시할 수 있다는 것은 수직선이 곧 실수 전체의 집합을 나타내며, 모든 실수는 크기를 비교할 수 있다는 것을 의미한다.
 

2) 피타고라스의 정리로 무리수 존재 증명
수직선에는 모든 실수를 나타낼 수 있다고 했는데, 중학교 과정에서 학생들이 가장 힘들어하는 것이 무리수의 존재다. 이는 교과과정의 순서를 비튼 것에서 발생한 문제이기도 하다.
 

대부분의 중등수학 교과서는 피타고라스의 정리에 대한 설명없이 수직선을 그려놓고, 한 변의 크기가 1인 정사각형을 수직선 위에 올려놓는다. 그러고서는 정사각형의 대각선의 한끝을 원점에 고정시키고, 다른 끝은 회전시켜 수직선위에 올려놓으면, 무리수 ‘루트2’가 된다고 설명하고 있다.
 
 
3) 길이 1인 정사각형 대각선 크기는 루트2
그런데 이 설명은 약간 무리수(無理手)이기도 한 것이, 피타고라스의 정리에 대한 설명 없이 곧장 무리수를 시각적으로 표현하고 있다. 그러다보니, 중학생들이 교과서의 설명을 이해하기는 쉽지 않다.
피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 빗변과 나머지 변과의 관계를 증명한 것으로, ‘빗변의 제곱은 다른 두변을 각각 제곱해서 더한 것과 같다’는 것이다.
 

하여튼 정사각형에 대각선을 그으면, 직각삼각형이 만들어진다. 이제 직각삼각형의 빗변(원래는 정사각형의 대각선)의 길이를 알 수 없으므로 x라고 하자. 다른 빗변은 길이가 1이라는 것은 한 변의 길이가 1인 정사각형이라는 전제조건에서 이미 밝혔다.

피타고라스의 정리에 따라 계산을 하면, 길이 1인 정사각형의 대각선의 크기는 루트2라는 것을 알 수 있다.

기사입력: 2018/11/28 [04:25]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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